Добавил:

Chupapi_Munyanya Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Национальный исследовательский университет «МЭИ»

Предмет:

Высшая математика

Файл:

Лекция 8

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

16.05.2024

Размер:

486.68 Кб

Скачать

☆

1 / 21 2 > Следующая >>>

Лекция 8. Производные высших порядков. Дифференциалы высших порядков. Формула Лейбница для n-ой производной. Производные параметрически заданных функций.

Лекция 8

ПРОИЗВОДНЫЕ И ДИФФЕРЕНЦИАЛЫ ВЫСШИХ ПОРЯДКОВ

1. Производные высших порядков

Пусть функция

f (x) дифференцируема в каждой точке x a,b .

Определение 1. Если

функция

g(x) f (x) дифференцируема

в каждой

точке x a,b , то говорят, что

функция

f (x) дважды дифференцируема на

интервале a,b , что обозначается следующим образом:

f (x) f (x)

df x

d 2 f x

(2)

(x) .

(1)

При этом функцию f ( 2) (x) называют второй производной функции f (x) .

Определение 2. Если функция g(x) f (x) дифференцируема в каждой

точке x a,b , то говорят, что функция

f (x) три раза дифференцируема на

интервале a,b , что обозначается следующим образом:

d d 2 f x

d 3 f x

(3)

f (x) f (x)

(x) .

(2)

При этом функцию				f (3) (x) называют третьей производной функции			f (x) .
Определение 3.		Если функция g(x) f n (x) дифференцируема в каждой
точке x	a,b				функция f (x)	n
			,	то говорят, что			1	раз

дифференцируема на интервале a,b , что обозначается следующим образом:

(n 1)

(n)

d n f x

d n 1 f x

(x) f

(x)

(3)

n 1

Стаценко И.В. Лекция 8. Математический анализ.

При этом функцию f (n 1) (x) называют

производной функции f (x) .

n 1

Пример 1.

Найти

d 3 sin(5x)

dx3

Решение:

d sin(5x)

5cos(5x) ;

d 2 sin(5x)

5cos(5x)

25sin(5x) ;

dx2

d 3 sin(5x)

d 25sin(5x)

125cos(5x) .

dx3

Пример 2.

Найти

d 3 sin(ay)

da3

Решение:

d sin(ay)

y cos(ay) ;

d 2 sin(ay)

d y cos(ay)

y2 sin(ay) ;

da2

3 sin(ay)

d y2 sin(ay)

cos(ay) .

da3

Пример 3.

Найти

d 2 y sin(xy)

dy2

Решение:

d y sin(xy)

sin(xy) yx cos(xy) ;

Стаценко И.В. Лекция 8. Математический анализ.


	d 2 y sin(xy)	d sin(xy) yx cos(xy)		x cos xy x cos(xy) xy sin(xy) .

	dy2		dy
2.			Дифференциалы высших порядков
	Пусть функция		f (x) по крайней мере n		раз дифференцируема	в
каждой точке x a,b .
Определение 4. Выражение вида
	d 2 f (x) d df (x) d f (x)dx				f (x)dx2 .	(4)

Называется вторым дифференциалом функции f (x) .

Примечание: В формуле (4) использовалось следующее правило вычисления
дифференциала:
d f (x)dx f (x)dx dx f (x)dx f (x) dx dx
f (x)dx f (x) 0 dx f (x)dxdx f (x)dx2 .
Определение 5. Выражение вида
d 3 f (x) d d 2 f (x) d f (x)dx2 f (x)dx3 .	(5)

Называется третьим дифференциалом функции f (x) .

Примечание: В формуле (5) использовалось следующее правило вычисления дифференциала:

d f (x)dx

f (x)dx

f (x) dx

f (x)dx2	f (x) 0 dx	f (x)dx2dx f (x)dx3 .
Определение 6. Выражение вида
d n f (x) d d n 1	f (x) d f (n 1) (x)dxn 1 f (n) (x)dxn .		(6)

Называется третьим дифференциалом функции f (x) .

Стаценко И.В. Лекция 8. Математический анализ.

Пример 4. Найти d 2 sin x2 .

Решение:

d 2 sin x2 sin x2 dx2 2x cos x2 dx2 ;

2cos x2 2x 2 sin x2 dx2 .

3.Производная высшего порядка от произведения двух функций

	(формула Лейбница)
Рассмотрим две функции u u(x) и v v(x), по крайней мере n					раз
дифференцируемые в каждой точке x a,b .
Для n -ой производной функции				f (x) u x v x справедлива
формула Лейбница
f (n) (x) u x v x (n)				n
f (n) (x) u x v x (n)				Cnk u(k )v(n k ) .	(7)
				k 0
Доказательство:
	u v (0) u v ,				(8)
u v (1)		u(1)v(0) u(0)v(1) ,			(9)
u v (2) u(1) v(0) u(0)v(1)		u(2)v(0)	u(1)v(1) u(1)v(1) u(0)v(2)
u(2)	v(0)	2u(1)v(1)	u(0)v(2) .		(10)
u v (3)	u(2)v(0) 2u(1)v(1) u(0)v(2)

Стаценко И.В. Лекция 8. Математический анализ.

u(3)v(0) u(2)v(1)	2u(2)v(1)	2u(1)v(2)	u(1)v(2)	u(0)v(3)
u(3)v(0)	3u(2)v(1)	3u(1)v(2)	u(0)v(3) .		(11)
По аналогии получим:
u v (4) u(4)v(0) 4u(3)v(1) 6u(2)v(2)			4u(1)v(3)	u(0)v(4) ,	(12)

u v (5) u(5)v(0) 5u(4)v(1) 10u(3)v(2) 10u(2)v(3) 5u(1)v(4) u(0)v(5) . (13)

и.т.д.

Запишем отдельно коэффициенты при различных степенях слагаемых, входящих в формулы:

n 0:			1
n 1:			1	1
n 2:		1	2	1
n 3:		1	3	3	1
n 4:	1	4	6	4		1
n 5:	1	5	10	10	5	1

…

Данная треугольная структура имеет название треугольника Паскаля. Если ввести нумерацию столбцов треугольника (диагоналей справо налево) с нуля, то данный треугольник можно представить таблицей следующего вида:

						Таблица 1

	k 0	k 1	k 2	k 3	k 4	k 5
n 0	1
n 1	1	1
n 2	1	2	1
n 3	1	3	3	1
n 4	1	4	6	4	1
n 5	1	5	10	10	5	1

Кроме того, известно, что треугольник Паскаля имеет также следующий вариант записи:

Стаценко И.В. Лекция 8. Математический анализ.

						Таблица 2

	k 0	k 1	k 2	k 3	k 4	k 5
n 0	0
	C0
n 1	0	1
	C1	C1
n 2	0	1	2
	C2	C2	C2
n 3	0	1	2	3
	C3	C3	C3	C3
n 4	0	1	2	3	4
	C4	C4	C4	C4	C4
n 5	0	1	2	3	4	5
	C5	C5	C5	C5	C5	C5

То есть коэффициент треугольника Паскаля, находящийся на пересечении n - ой строки и k - го столбца, вычисляется как Cnk - число сочетаний из n по k , где

C k	n!		,


n		!
	k ! n k

n! 1 2 3 4 5 ... (n 1) n ,

0! 1,

1! 1,

2! 1 2 2,

3! 1 2 3 6 ,

4! 1 2 3 4 24.

Таким образом, формулы (8-12) можно записать следующим образом:

u v (0) C00u(0)v(0) ,

u v (1) C10u(0)v(1) C11u(1)v(0) ,

u v (2) C20u(0)v(2) C21u(1)v(1) C22u(2)v(0) ,

(14)

(15)

(16)

(17)

(18)

(19)

(20)

(21)

(22)

(23)

Стаценко И.В. Лекция 8. Математический анализ.

u v (4) C40u(0)v(4) C41u(1)v(3) C42u(2)v(2) C43u(3)v(1) C44u(4)v(0) . (24)

Используя знак суммирования, те же формулы можно записать компактно

u x v x (n)

Пример 5. Найти e3x 3x2

n
Cnk u(k )v(n k ) ,	n 0,1,2,3,4,..., .	(25)

k 0

2x 1 (5) .

Решение:

1. Составляем таблицу производных функций, входящих в произведение следующим образом:

											Таблица 3

0	e	3 x					1			0	5
0		3 x									5

1	3e		3x				5			0	4
1			3x								4

2	9e		3x				10			0	3
2			3x								3

3	27e				3x		10			6	2
3					3x						2

4	81e			3x			5		6x 2		1
4				3x							1

5	243e					3x	1	3x	2	2x 1	0
5						3x			2		0

В центральном столбце таблицы записываем коэффициенты 5 – ой строки треугольника Паскаля.

2. Записываем сумму произведений функций и коэффициентов треугольника Паскаля в соответствующих строках:

e3x 3x2 2x 1 (5) e3x 1 0 3e3x 5 0 ... 243e3x 1 3x2 2x 1

27e3x 10 6 81e3x 5 6x 2 243e3x 1 3x2 2x 1

27e3x 60 15 6x 2 9 3x2 2x 1

27e3x 27x2 108x 99 243e3x 3x2 12x 11 .

Стаценко И.В. Лекция 8. Математический анализ.

Пример 6. Найти sin(x) 3x2 2x 1 (100) .

Решение:

Найдем sin(x) (n) :

sin(x) (0) sin(x),

sin(x) (1) cos(x) sin x ,


sin(x)		(2)
sin(x)			sin x			cos x		2		sin x						sin x 2		,
				2				2				2 2					2

sin(x)	(3)
sin(x)			sin x 2		2		cos x 2				sin x		3	2	,
					2				2					2

…


sin(x)	(n)
		sin x n 1
			2


cos x n 1		sin x n	.
	2		2

Тогда таблица для применения формулы Лейбница в условиях данной задачи имеет вид

					Таблица 4

0	sin(x)		C1000 1	0	100
1	cos(x)		C1001 100	0	99
2	sin(x)		C1002 495	0
…	…		…	…	…
			161700	0
97	sin x 97		161700	0	3
		2
			C10098 495
98	sin x 98		C10098 495	6	2
		2
			C10099 100
99	sin x 99		C10099 100	6x 2	1
		2
			C100100 1
100	sin x 100	2	C100100 1	3x2 2x 1	0
		2

Стаценко И.В. Лекция 8. Математический анализ.

Решение задачи имеет вид:

sin(x) 3x2 2x 1 (100) sin x 50 3x2 2x 1

sin x 99 6x 2 100 sin x 49 6 495.

После использования формул приведения получим:

sin(x) 3x2 2x 1 (100) sin x 3x2 2x 1

cos x 3x 1 200 sin x 2970.

Замечание: В ходе решения примера 6 получена формула для n oй производной функции sin(x) . Данная формула будет использоваться в следующих лекциях вместе с формулой для n oй производной функции cos(x) , поэтому представим их отдельно:

sin(x)	(n)			,	(26)
sin(x)		sin x n		,	(26)
			2

cos(x)	(n)			(27)
cos(x)		cos x n	.	(27)
			2

4.Первая производная параметрически заданной функции

Рассмотрим функцию y f (x) ,		определенную в O(x0 )	следующим
образом:
	f (x) : x t ,	y t ,	(28)
при этом y0 f x0 ,	x0 t0 , y0	t0 .

Функция f (x) , представленная в виде (26), называется параметрически заданной. В общем случае формулы (26) могут задавать многозначную функцию y f (x) .

Стаценко И.В. Лекция 8. Математический анализ.

			10
Пример 7.	Функция вида	f (x) :	x t ,	y t 2 ,		t R задает параболу
f (x) x2 .
Пример 8.	Функция вида	f (x) :	x 5sin t ,			y 5cos t ,		t 0,
задает половину окружности радиуса R 5 с центром в начале координат.

Уравнение такой однозначной функции можно записать в виде у									25 x2 ,
так как x2 y2 52 sin2 t 52 cos2 (t) 52.
Пример 9.	Функция вида	f (x) :	x 5sin t ,		y 5cos t ,		t 0, 2

задает окружность радиуса R 5 с центром в начале координат. Уравнение такой многозначной функции можно записать в виде системы из двух


однозначных функций:	у	25 x2 и	у	2	25 x2
	1			2

Теорема 1. Пусть

1.Функции x t , y t дифференцируемы в точке t0 ;

2.Функция x t : t0 0.

t существует обратная функция t

окрестности точки t0 Ф x0 .

тогда уравнения (26) задают параметрически функцию дифференцируемую в O(x0 ) , при этом

df x0	d t0
	dt	.
dx	d t0

Ф x в

у f (x) ,

(29)

Доказательство: по условиям теоремы у функции		x t существует
обратная функция t Ф x в окрестности точки t0	Ф x0 , тогда
у (t) Ф(x) f t x	.	(30)

Дифференцируем функцию (28) как сложную функцию

Стаценко И.В. Лекция 8. Математический анализ.

1 / 21 2 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке Лекции

#
16.05.2024466.92 Кб0Лекция 3.pdf
#
16.05.2024433.83 Кб0Лекция 4.pdf
#
16.05.2024464.85 Кб0Лекция 5.pdf
#
16.05.2024468.6 Кб0Лекция 6.pdf
#
16.05.2024481.46 Кб0Лекция 7.pdf
#
16.05.2024486.68 Кб0Лекция 8.pdf
#
16.05.2024478.83 Кб0Лекция 9.pdf